A modo de introducción, debo aclarar que cuando hablamos de tanteo no nos referimos a “trucos” o mecanismos concretos que facilitan la obtención de un resultado via un proceso fijo, como el conocido mecanismo de la multiplicación por 11 entre muchos otros. Mas bien es saber con solo un vistazo que si la cuenta de cada uno de mis cuatro amigos es de unos $19, $23, $17, y $22 puedo pagar todo con los $90 extra que tengo.
El tanteo es un proceso lógico, a menudo improvisado, en el que, a partir de unos valores iniciales, encontramos una buena aproximación y, a veces,la solución exacta o a un cálculo, a una expresión, o a un problema. A continuación, proveo algunos ejemplos del uso del tanteo para llevar a cabo algunos cálculos mentales tanto aproximados como exactos, e igualmente importante explico cómo solucionar ecuaciones o sistemas de ecuaciones usando este método.
- Cálculos mentales
- Aproximados.
Ejemplo 1. Tengo $25 en efectivo y necesito comprar un paquete de bolígrafos que cuesta $9.75, dos cajas de sobres de $4.89, y una resma de papel a $3.75. ¿Tendré que usar la tarjeta de crédito?
Solución. Redondeando los precios vemos que $10+2x$5+$4 = $24. Como todo el redondeo ha sido por exceso, el efectivo que tengo cubre el costo.
Ejemplo 2. ¿Aproximadamente cuánto es 49 x 71?
Solución. Unos $3500 (=50 x 70 = 5 x 7 x 100)
.Ejemplo 3. Pago mensualmente
- Cálculos Mentales Exactos
Ejemplo 4.
Ejemplo 5. Calcular $latex 75%x800=\frac{75}{100}x800=\frac{3}{4}x800=600 $
. Ilustramos seguidamente tres enfoques distintos.
Solución.
- La primera solución se aprovecha de cuan fáciles de obtener y sumar son los productos por múltiplos de 10, o que producen los mismos como
- En la segunda solución se sustituye 25 por
para usar tanto la multiplicación por la unidad seguida de ceros, como divisiones sucesivas por 2, que la mayoría de las personas pueden hacer mentalmente.
- La tercera solución reconoce al 2 como un factor de 14 que al multiplicar por 25 produce un resultado terminado en 0 facilitando el producto por el segundo factor 7.
- Porcentajes
¿Cuánto me cuesta una laptop de $800 con un 25% de descuento?
Una mayoría de personas usualmente proceden a calcular el descuento y substraer:
;
En general es más cómodo y rápido razonar que si nos descuentan un 25%, debemos pagar el 75%, por tanto
En mi opinión, a una misma persona dependiendo de su experiencia y práctica, se le pueden ocurrir procesos distintos en distintas ocasiones. Usualmente, tan pronto pensamos en un proceso fácil lo usamos, ya que cuando se trata de un cálculo mental el objetivo es encontrar la solución o la aproximación cuanto antes, por lo que el número de pasos o la elegancia del proceso nos trae sin cuidado, nos preocupa tan solo hallar el resultado.
El enfoque depende, en parte, de los conocimientos numéricos y algebraicos, así como de la confianza en sí mismo que el sujeto tenga. Claramente, la práctica es esencial. Cuanto más se practiquen los cálculos mentales a través de la vida, mayor será la destreza que se alcance.
¿Cuán importante son estos cálculos en la actualidad, cuando cualquier teléfono tiene calculadora? Creo que su uso promueve un sentido intuitivo numérico difícil de obtener de otra forma y, a menudo muy conveniente. Por experiencia propia puedo comentar que, a través de los años, en repetidas ocasiones, cuando el cajero del supermercado me ha dicho un total equivocado, casi intuitivamente he sabido que debía ser erróneo. La última vez, recuerdo que un vistazo a las 5 o 6 cosas que había comprado, me dijo que el costo promedio sería de unos $5, por lo que a lo sumo el total debería ser de unos $30 y no los $47 que me decía el de la caja. Cuando esto ocurre y se le dice al cajero que el total no parece ser correcto, la respuesta clásica es: “la caja la computadora dice que es eso.” En esa ocasión resultó ser un error en el precio que la maquina tenía para uno de los productos; en el pasado, cuando no había lectores ópticos, el error solía estar al entrar el precio o en el número de unidades que se había tecleado en la caja registradora.
A menos que se use apropiadamente y se practique tanto el tanteo como el uso apropiado de la tecnología moderna, esta terminará produciendo un gran número de analfabetas numéricos. Si el lector piensa que exagero, le sugiero mire los resultados de exámenes estandarizados en occidente. Aclaro que por 25 años pertenecí al grupo pionero “en el mundo” que promulgaba el uso apropiado de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas, como demostraron los exámenes comparativos de precálculo, calculo, algebra lineal y geometría.
- Usando tanteo para resolver sistemas de ecuaciones.
Cuando a fines de los ochenta le comenté a una colega el efecto positivo que había observado sugiriendo a algunos estudiantes el uso del tanteo para facilitar el aprendizaje de distintos conceptos matemáticos, ella me comentó que en la década de los 70, en alguna clase de Educación Matemática en OSU, usaban el tanteo para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones sencillos, pero aparentemente dejaron de hacerlo. Yo no enseñaba cursos que incluían sistemas, pero cuando usé el tanteo en esa área con algún estudiante, siempre noté sorpresa del alumno con lo rápido que se obtienen resultados, por lo que desde entonces siempre lo he mencionado. Ilustro a continuación el método con algunos ejemplos.
Ejemplo 1. La suma de las edades de dos hermanos, Juan y Maria, es 35 años. Si Juan es 7 años menor que su hermana. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución. El método consiste en asumir una edad inicial razonable para uno de los hermanos y crear una tabla con los valores obtenidos. Si empezamos asumiendo que Juan tiene 3 años, María tendría entonces 7 más, o sea 10, y entre los dos tendrían 13, estamos muy cortos por lo que debemos incrementar la edad de Juan, digamos que a 15. Recogiendo la información en una tabla, aumentamos o disminuimos la edad de juan hasta que obtenemos los valores correctos.
Hay quien prefiere pensar gráficamente:Tanteo “Organizado”: Un Método Sencillo y Poco Usado
A modo de introducción, debo aclarar que cuando hablamos de tanteo no nos referimos a “trucos” o mecanismos concretos que facilitan la obtención de un resultado via un proceso fijo, como el conocido mecanismo de la multiplicación por 11 entre muchos otros. Mas bien es saber con solo un vistazo que si la cuenta de cada uno de mis cuatro amigos es de alrededor de $19, $23, $17, $22 puedo pagar todo con los $90 extra que tengo.
El tanteo es un proceso lógico, a menudo improvisado, en el que, a partir de unos valores iniciales, encontramos la solución exacta o una buena aproximación a un cálculo, a una expresión, o a un problema. A continuación, proveo algunos ejemplos del uso del tanteo para llevar a cabo algunos cálculos mentales tanto aproximados como exactos, e igualmente importante explico cómo solucionar ecuaciones o sistemas de ecuaciones usando este método.
- Cálculos mentales
- Aproximados.
Ejemplo 1. Tengo $25 en efectivo y necesito comprar un paquete de bolígrafos que cuesta $9.75, dos cajas de sobres de $4.89, y una resma de papel a $3.75. ¿Tendré que usar la tarjeta de crédito?
Solución. Redondeando los precios vemos que . Como todo el redondeo ha sido por exceso, el efectivo que tengo cubre el costo.
Ejemplo 2. ¿Aproximadamente cuánto es ?
Solución.
Ejemplo 3. Pago mensualmente
- Cálculos Mentales Exactos
Ejemplo 4. Calcula
Solución.
Hemos cogido el 2 del 6 para multiplicarlo por 25, y agrupado todos los ceros, lo que facilita el cálculo mental.
Ejemplo 5. Calcular . Ilustramos seguidamente tres enfoques distintos.
Solución.
- La primera solución se aprovecha de cuan fáciles de obtener y sumar son los productos por múltiplos de 10, o que producen los mismos como
- En la segunda solución se sustituye 25 por
para usar tanto la multiplicación por la unidad seguida de ceros, como divisiones sucesivas por 2, que la mayoría de las personas pueden hacer mentalmente.
- La tercera solución reconoce al 2 como un factor de 14 que al multiplicar por 25 produce un resultado terminado en 0 facilitando el producto por el segundo factor 7.
- Porcentajes
¿Cuánto me cuesta una laptop de $800 con un 25% de descuento?
Una mayoría de personas usualmente proceden a calcular el descuento y substraer:
;
En general es más cómodo y rápido razonar que si nos descuentan un 25%, debemos pagar el 75%, por tanto
En mi opinión, a una misma persona dependiendo de su experiencia y práctica, se le pueden ocurrir procesos distintos en distintas ocasiones. Usualmente, tan pronto pensamos en un proceso fácil lo usamos, ya que cuando se trata de un cálculo mental el objetivo es encontrar la solución o la aproximación cuanto antes, por lo que el número de pasos o la elegancia del proceso nos trae sin cuidado, nos preocupa tan solo hallar el resultado.
El enfoque depende, en parte, de los conocimientos numéricos y algebraicos, así como de la confianza en sí mismo que el sujeto tenga. Claramente, la práctica es esencial. Cuanto más se practiquen los cálculos mentales a través de la vida, mayor será la destreza que se alcance.
¿Cuán importante son estos cálculos en la actualidad, cuando cualquier teléfono tiene calculadora? Creo que su uso promueve un sentido intuitivo numérico difícil de obtener de otra forma y, a menudo muy conveniente. Por experiencia propia puedo comentar que, a través de los años, en repetidas ocasiones, cuando el cajero del supermercado me ha dicho un total equivocado, casi intuitivamente he sabido que debía ser erróneo. La última vez, recuerdo que un vistazo a las 5 o 6 cosas que había comprado, me dijo que el costo promedio sería de unos $5, por lo que a lo sumo el total debería ser de unos $30 y no los $47 que me decía el de la caja. Cuando esto ocurre y se le dice al cajero que el total no parece ser correcto, la respuesta clásica es: “la caja la computadora dice que es eso.” En esa ocasión resultó ser un error en el precio que la maquina tenía para uno de los productos; en el pasado, cuando no había lectores ópticos, el error solía estar al entrar el precio o en el número de unidades que se había tecleado en la caja registradora.
A menos que se use apropiadamente y se practique tanto el tanteo como el uso apropiado de la tecnología moderna, esta terminará produciendo un gran número de analfabetas numéricos. Si el lector piensa que exagero, le sugiero mire los resultados de exámenes estandarizados en occidente. Aclaro que por 25 años pertenecí al grupo pionero “en el mundo” que promulgaba el uso apropiado de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas, como demostraron los exámenes comparativos de precálculo, calculo, algebra lineal y geometría.
- Usando tanteo para resolver sistemas de ecuaciones.
Cuando a fines de los ochenta le comenté a una colega el efecto positivo que había observado sugiriendo a algunos estudiantes el uso del tanteo para facilitar el aprendizaje de distintos conceptos matemáticos, ella me comentó que en la década de los 70, en alguna clase de Educación Matemática en OSU, usaban el tanteo para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones sencillos, pero aparentemente dejaron de hacerlo. Yo no enseñaba cursos que incluían sistemas, pero cuando usé el tanteo en esa área con algún estudiante, siempre noté sorpresa del alumno con lo rápido que se obtienen resultados, por lo que desde entonces siempre lo he mencionado. Ilustro a continuación el método con algunos ejemplos.
Ejemplo 1. La suma de las edades de dos hermanos, Juan y Maria, es 35 años. Si Juan es 7 años menor que su hermana. ¿Qué edad tiene cada uno?
Solución. El método consiste en asumir una edad inicial razonable para uno de los hermanos y crear una tabla con los valores obtenidos. Si empezamos asumiendo que Juan tiene 3 años, María tendría entonces 7 más, o sea 10, y entre los dos tendrían 13, estamos muy cortos por lo que debemos incrementar la edad de Juan, digamos que a 15. Recogiendo la información en una tabla, aumentamos o disminuimos la edad de juan hasta que obtenemos los valores correctos.
Hay quien prefiere pensar gráficamente:
