M-III Mat Sobre el infinito

III. Sobre el infinito

{Este es el 3er artículo de una serie en la que, de manera sencilla e informal, aclaro una serie de conceptos matemáticos de interés general, que desafortunadamente no suelen estar incluidos en los currículos de matemáticas a nivel escolar, creando deficiencias culturales básicas. Es mi esperanza que los que los lean, en la medida que puedan los compartan, sobre todo con niños.}

Comienzo este artículo con unas preguntas que, el lector debe tratar de contestar, si lo hace y revisa su respuesta al terminar, le ayudará a entender mejor lo que sigue.

  1. ¿Qué es el infinito para ti?
  2. ¿Puedes dar tres ejemplos de infinito? ¿Se te ocurre algún modelo numérico o geométrico concreto?
  3. ¿Es cierto siempre que el todo es mayor que cualquiera de sus partes?
  4. ¿Dónde hay más puntos, en una recta o en un segmento de esta?
  5. ¿Crees que hay un infinito o más de uno?

A menudo oigo términos matemáticos que se usan popularmente, no siempre con precisión, y me pregunto si el que los usa tiene comprensión clara de lo que dice. El término infinito es un buen ejemplo de lo que digo. Para ilustrar este punto, en este artículo, en lugar de usar comentarios oídos en la calle, he decidido usar diccionarios de reputación universal.  El diccionario de la Real Academia Española (RAE), por ejemplo, nos da varias definiciones de infinito, así nos dice “que no tiene o puede tener fin o término, “y también, “valor mayor que cualquier cantidad asignable,” hasta aquí estamos bien, ambas expresiones son correctas. Sin embargo, también nos dice “muy numeroso o enorme”, lo que a mi juicio no es correcto, ya que cuando se busca numeroso el mismo diccionario de la RAE nos dice “mucho más grande de lo normal, o muchedumbre de personas o cosas” o “que se presenta en gran número.” Es claro que ni algo más grande de lo normal, ni una muchedumbre son infinitas, como tampoco lo es un gran número.  Las expresiones en otro excelente diccionario, el de María Moliner, a mi modo de ver son un poco mejores, aun así, como parte de la explicación se encuentra “muy grande”, lo que claramente es erróneo, y “el firmamento poblado de infinitas estrellas,” lo que, a menos que se use en sentido poético, no es cierto, porque el universo es finito. Es precisamente el hecho demostrado de la finitud del universo, lo que impide encontrar modelos concretos del infinito dentro del mismo, por lo que tan solo podemos hablar de este concepto en sentido abstracto.  De aquí que solo se puede hablar de infinito en el campo espiritual para los creyentes, ya que Dios es infinito, o como veremos en las matemáticas.  

Pero ¿a qué llamamos infinito matemáticamente? Realmente es muy fácil de explicar, pues basta con contar, y numéricamente hay la ventaja de tener ejemplos concretos. Recordemos que la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene. Así, el conjunto de las vocales A= {a, e, i, o, u} tiene cardinalidad 5, mientras que cualquier subconjunto, propiamente contenido en él, tiene menos de 5 elementos. Por ejemplo, el subconjunto de vocales fuertes F= {a, e, o} tiene 3 elementos, mientras que el subconjunto de las vocales débiles D= {i, u} tiene 2. Ahora bien, ¿es esta propiedad siempre cierta?, es decir, ¿es siempre cierto que, dado un conjunto, cualquiera de los subconjuntos propiamente contenido en el tiene menos elementos?

Analicemos cuál es la cardinalidad del conjunto de los números naturales

ℕ= {1, 2, 3, ⋯, n, n+1, ⋯}.

Si tratamos de contar el número de elementos de ℕ, vemos que no se termina nunca pues, como se observa en su definición, si n fuera el último número, bastaría con sumarle uno para obtener n+1 que es un número natural mayor.

En matemáticas, la idea de no tener fin se expresa diciendo que la cardinalidad del conjunto es infinita y el infinito se representa usando el símbolo ∞. Es importante subrayar que infinito no es un número, sino un símbolo que denota interminable o sin fin. La cardinalidad de ℕ se denota por el símbolo ℵₒ (que se lee alef sub-cero) y es el primer número infinito. Les recuerdo que “Alef” es la primera letra del alfabeto hebreo. Otra peculiaridad que caracteriza los conjuntos infinitos es que “una de sus partes puede ser tan grande como el todo.” Consideremos, por ejemplo, el subconjunto de los números pares 𝓟= {2, 4, 6, ⋯, 2n, ⋯}. Si establecemos una correspondencia entre los números naturales y los pares vemos que a cada número natural le corresponde uno par y viceversa, por tanto, ¡hay tantos números naturales como números pares! 

ℕ = {1, 2, 3, 4, ⋯, n, ⋯}

                                                 ⬍  ⬍ ⬍  ⬍        ⬍                             

𝓟 = {2, 4, 6, 8, ⋯,2n, ⋯}

           Figura 1

Nótese también que si, en lugar del subconjunto de los números pares 𝓟, usamos el subconjunto de los números impares 𝓘= {1, 3, 5, 7, ⋯, 2n+1, ⋯}, o el de los múltiplos, digamos de 5, 𝒞 = {5, 10, 15, 20, ⋯,5n, ⋯}, de nuevo vemos que ambos son subconjuntos propiamente contenidos en ℕ, y que como podemos observar a continuación, existe una correspondencia en la que a cada elemento de estos conjuntos le corresponde un único elemento de ℕ y viceversa; por tanto, 𝓘 y 𝒞, son subconjuntos propiamente contenidos en ℕ, que tienen el mismo número de elementos que ℕ.

   ℕ = {1, 2, 3, 4, ⋯, n, ⋯}                             ℕ = {1, 2,  3, ⋯,    n, ⋯}

          ⬍  ⬍  ⬍ ⬍       ⬍                                          ⬍  ⬍   ⬍          ⬍

   𝓘 = {1, 3, 5, 7, ⋯,2n+1, ⋯}                        𝒞 = {5, 10, 15, ⋯, 5n, ⋯}

Figura 2

¡Vemos pues que, en conjuntos numéricos infinitos, el todo No es mayor que cualquiera de sus partes! Es esta peculiaridad, que diferencia los conjuntos finitos de los infinitos, la que llevó a Cantor a definir un conjunto infinito como aquel que contiene subconjuntos propios con su misma cardinalidad

¿Hay más de un número infinito?

Es de interés saber que matemáticamente, si un conjunto S tiene cardinalidad n, el conjunto de todos los posibles subconjuntos de S tiene cardinalidad 2ⁿ. Por tanto, si ℕ tiene como cardinalidad ℵₒ, el conjunto de todos los subconjuntos de ℕ tiene cardinalidad 2^ℵₒ un número infinito estrictamente mayor que ℵₒ Y el conjunto de los subconjuntos de ese nuevo conjunto tendrá cardinalidad (2^ℵₒ)^ℵₒ un número infinito mayor que el anterior, y así sucesivamente. ¡Esto muestra que hay una infinidad de números infinitos, cada uno mayor que el anterior!

Ayuda siempre el visualizar gráficamente cualquier concepto, por lo que brevemente consideramos el infinito usando puntos y segmentos. Consideremos un par de preguntas básicas.

¿Puede un segmento tener infinitos puntos?

Recordando que un punto no tiene dimensión, y que todo número tiene un punto que lo representa de forma única en la recta numérica, es fácil ver que cualquier segmento tiene infinitos puntos. Tomemos por ejemplo el segmento [0,1]. Basta con observar que el conjunto de los recíprocos de los números naturales {1, 1/2,1/3, …} es infinito y que todos ellos están entre 0 y 1, por tanto, los puntos que los representan están en el segmento [0, 1]. A continuación, vemos geométricamente que esto es cierto para cualquier segmento.

¿Pueden dos segmentos de distinta longitud tener el mismo número de puntos?

Figura 3

Consideramos dos segmentos AB y CD de distinta longitud. Como se observa en la Figura 1, formamos el triángulo EFG, de base EF = AB y altura FG = CD, y consideremos un punto P cualquiera de EF, como se ve en la Figura 3. Levantando una perpendicular desde el punto P hasta el lado EG, se encuentra un punto H correspondiente, si ahora se traza por H una paralela a la base del triángulo esta interseca al lado FG en un punto Q. Es fácil observar que si movemos el punto P a la derecha (o izquierda) el punto Q correspondiente se desplaza hacia arriba (o abajo). Vemos pues que a todo punto P de EF le corresponde un único punto Q de FG, por tanto, los segmentos EF = AB y FG = CD tienen el mismo número de puntos.

Recordemos que un segmento cualquiera tiene longitud finita mientras que una recta se extiende indefinidamente, por tanto, tiene longitud infinita. Teniendo esto en mente, qué opinas, ¿tiene más puntos un segmento o toda la recta?

Consideremos el segmento AB y la recta vertical que pasa por su centro O, conocido como el eje de ordenadas.  La Figura 4 ilustra que siguiendo la misma técnica usada en la figura 3, a cualquier par de puntos C y D del segmento AB le corresponden puntos C” y D” del eje vertical y viceversa, por tanto, ¡el segmento AB y la recta vertical tienen el mismo número de puntos!

Figura 4

Por Antonio R Quesada

A esta altura de mi vida reconozco que lo que creo saber es ínfimo comparado con lo que desconozco. Usando mis experiencias, trato de profundizar en algunas ideas espirituales básicas que comparto con toda humildad a fin de animar a otros a que hagan lo mismo. Agradezco de antemano cualquier sugerencia o corrección que reciba. ________________________________________________________________________________ At this time of my life, I acknowledge that what I think I know, is minimal compared to what I don’t know. Using my experiences, I try to deepen on some basic spiritual ideas that I share with all humility, with the purpose of encouraging others to do the same. I thank you in advance for any suggestions or corrections that I receive. ________________________________________________________________________________ Dr. Antonio R. Quesada, Professor Emeritus of Mathematics at The University of Akron. Ohio Teaching Fellow. Director of Project AMP. T^3 International Emeritus Professor.

4 comentarios

  1. Magnífica la exposición, Antonio. Me has recordado gratamente el curso 2° de Análisis Matemático de la carrera, pero con más profundidad y rigor que la expuesta por Camilo Aparicio, profesor del mismo. Gracias por tu aportación. Un abrazo

  2. La explicación está al alcance de los alumnos de 2° de Bachlillerato, a pesar de la bajada de nivel en la ESO. Ha habido un buen nivel en las pruebas de Selectividad. Para acceder al doble grado de Matemáticas y Física, y al de Matemáticas e Informática, la nota de corte ha rondado los 13,75 puntos. Estando yo en activo, la nota exigida era 5, y, según los profes de la carrera de Matemáticas, buscando alumnos para que se matriculasen, con un nivel bajísimo. Nada que ver con nuestra época.
    En cuanto a tu lección de geometría esférica, magistral, superando a nuestro D. Manuel Bravo Cervilla en Preuniversitario y a mi profe de Astronomía en la carrera, Mercado.

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