M-I Mat. El Tamaño de los Números o Potencias de Números Pequeños

  1. Potencias de Números Pequeños

{Este es el 1er artículo de una serie en la que, de manera sencilla e informal, aclaro una serie de conceptos matemáticos de interés general que desafortunadamente no suelen estar incluidos en los currículos de matemáticas a nivel escolar, creando deficiencias culturales básicas. Es mi esperanza que los que los lean, en la medida que puedan, los compartan sobre todo con niños.}

En ocasiones, hablando con amigos con carreras universitarias, algunos de ciencias e incluso de ingeniería, así como profesores de matemáticas, me ha sorprendido el desconocimiento que tienen del tamaño de potencias numéricas. Revisando el currículo de matemáticas a nivel de escuela intermedia y superior, e incluso de universidad, observé la poca atención que, en las clases de matemáticas damos al tamaño de los números, particularmente a potencias de pequeños números. En mi opinión, es relativamente fácil el atacar esta deficiencia, ya que una vez que el estudiante se expone a unos pocos buenos ejemplos, difícilmente vuelve a sorprenderse por el tamaño que este tipo de expresiones alcanza.

En los años 90, empecé a dirigirme a este problema en mis charlas a profesores de matemáticas.  Para ello, deliberadamente decidí ignorar el consabido ejemplo de los granos de arroz en un tablero de ajedrez, y en su lugar solía usar un ejemplo que, no recuerdo si lo vi en algún sitio, o lo creé yo.

Decía a la audiencia: supongamos que tenemos una tira fina y muy larga de papel biblia, de una décima de milímetro de espesor. Imagínense que doblamos la tira de papel por la mitad, seguidamente volvemos a doblar la nueva tira obtenida una segunda vez por la mitad, y continuamos repitiendo el proceso de doblar por la mitad la tira que resulta, digamos 30 veces. ¿Qué altura tiene la pila de papel que se forma como resultado de este proceso?

A continuación, pedía a la audiencia: levanten la mano los que estén de acuerdo con el enunciado que voy a decir, ¿cuántos piensan que la pila de papel que se forma no me llegaría al tobillo? Muchos levantaban la mano. Seguidamente les preguntaba, ¿cuántos creen que la pila de papel no pasaría de la rodilla, es decir estaría entre el tobillo y la rodilla? Quizás esta era el área donde la mayoría de los asistentes tendían a levantar la mano; no obstante, yo continuaba preguntando ¿y cuantos creen que la pila de papel me pasaría de la rodilla, pero quedaría bajo la cintura? Algunos levantaban la mano.  Yo seguía preguntando, ¿y cuantos creen que la pila de papel me pasaría de la cintura, pero quedaría bajo el cuello?  Pocas veces algunas personas levantaban la mano. Finalmente preguntaba ¿y cuantos creen que la pila de papel me pasaría, es decir sería más alta que yo? Excepto en muy raras ocasiones, nadie solía levantar la mano.

Seguidamente les decía, calculemos la altura de la pila de papel que se formaría. Claramente, la primera vez que doblamos la tira de papel, habrá dos tiras superpuestas, cuando doblamos la segunda vez tendremos 4 (2^2) tiras, la tercera vez serán 8 (2^3) y la treintava vez serán (2^30). Estoy seguro de que muchos profesores en las distintas audiencias habían hecho este sencillo razonamiento, sin embargo, no reconocieron la magnitud del número que se obtiene. Usando una calculadora, mostraba:

Invariablemente la respuesta sorprendía a la mayoría. Era entonces cuando les hablaba de la conveniencia de exponer nuestros alumnos de escuela intermedia o de bachillerato superior a este tipo de ejemplos, a fin de que aprendieran a “desconfiar” del tamaño sorprendente que estas potencias alcanzan. Les recordaba el ejemplo que se atribuye al viejito chino que creó el ajedrez (en realidad no se sabe el origen real de este juego).

Se dice que un emperador chino cuando tuvo su primer hijo quiso hacerle un regalo único.  Por esta razón, ordeno se emitiera un edicto invitando a traer a palacio un juego nuevo digno del futuro emperador, y prometiendo hacer rico a su creador. Fueron muchos los juegos que se crearon, pero una y otra vez, el emperador pedía algo mejor.  Finalmente, se presentó un viejito con una caja que contenía un tablero con las piezas de lo que hoy día llamamos ajedrez. Seguidamente, procedió a explicarle las reglas del juego al emperador. Este, que era un hombre inteligente, quedó fascinado con el juego y la estrategia que promovía, por lo que lo declaró el ganador. Exaltado, le dijo al viejito que podía pedir lo que quisiera y se lo concedería. El inventor respondió lo siguiente: sólo quiero que me den el arroz que resulta de poner un grano en el primer cuadrado del tablero, el doble en el siguiente cuadro, el doble del anterior en el siguiente, y continuar así hasta llegar al cuadrado 64, último en el tablero. Cuando el emperador sorprendido de lo “poco” que había pedido ordenó a los soldados que le dieran varias carretas cargadas de sacos de arroz, el inventor le dijo que por favor pidiera a sus sabios que calcularan la cantidad de arroz que le había otorgado. Cuando los sabios calcularon lo que el hombre había pedido, informaron al emperador que tomaría miles de años de la producción mundial de arroz (761.5 Tm) para poder pagar el arroz que le había concedido al inventor del juego!

Dos sugerencias para lectores que enseñan matemáticas en secundaria

La primera es que asignen a los estudiantes, agrupados en grupos pequenos 3-5, el crear un problema cuya solución sea una potencia de este tipo. A través de sobre 50 años de enseñar matemáticas a todos los niveles, ha sido mi experiencia que cuando el estudiante crea algo relacionado con el concepto que se estudia, lo entenderá y lo recordará mucho mejor que sí, tan solo, lo memoriza.

La segunda, es que consideren pedir a los estudiantes que calculen el resultado del problema de ajedrez, y que lo presenten usando por ejemplo la longitud del tren, con vagones cargados de arroz, que se necesitaría, asumiendo que, , de acuerdo con Google,  5 granos de arroz pesan un gramo, y que un vagón grande en un tren de carga tiene unas dimensiones internas de aproximadamente 18m x 3.5m x 4m.

Por Antonio R Quesada

A esta altura de mi vida reconozco que lo que creo saber es ínfimo comparado con lo que desconozco. Usando mis experiencias, trato de profundizar en algunas ideas espirituales básicas que comparto con toda humildad a fin de animar a otros a que hagan lo mismo. Agradezco de antemano cualquier sugerencia o corrección que reciba. ________________________________________________________________________________ At this time of my life, I acknowledge that what I think I know, is minimal compared to what I don’t know. Using my experiences, I try to deepen on some basic spiritual ideas that I share with all humility, with the purpose of encouraging others to do the same. I thank you in advance for any suggestions or corrections that I receive. ________________________________________________________________________________ Dr. Antonio R. Quesada, Professor Emeritus of Mathematics at The University of Akron. Ohio Teaching Fellow. Director of Project AMP. T^3 International Emeritus Professor.

4 comentarios

  1. Tu artículo me sugiere un ejemplo excelente que es el de los niveles de empaquetamiento de las moléculas de ADN. Las moléculas de ADN de una célula humana tienen una longitud total de unos 2 m pero son muy delgadas: unos 0’000.000.2 mm. Si pudiéramos coger todo el ADN contenido en todas las células de un hombre y desenrollarlo como un hilo, podríamos rodear la Tierra con él unas 300 veces.

  2. La respuesta de la altura de la pila de papel resulta sorprendente para cualquier persona, sólo al aplicar las matemáticas se ve la magnitud de la solución

    1. Mi argumento es que la sorpresa proviene de la escasa exposicion, bastante generalizada, a este tipo de resultados. Una vez que el estudiante ve varios ejemplos de este tipo, en distintas ocasiones, aprende a reconocer que estas potencias producen resultados extremadamente grandes, y rara vez lo olvida.

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