II. Los viajes en avión: Geometría esférica vs la euclídea

Recuerdo que, cuando se viajaba en avión hace unos años, a menudo, los pasajeros de una “sala” o espacio entre dos paredes transversales a los lados del avión limitadas por los pasillos laterales, podían ver una proyección de la trayectoria del avión en la pared del frente. Así, por ejemplo, cuando volaba de Nueva York a Madrid, después de un par de horas de vuelo, en el mapa se veía una trayectoria curva, similar a las de la imagen que sigue (Fig. 1), que salía de Nueva York y parecía dirigirse hacia el norte en lugar de seguir una línea recta hacia Madrid.

Figura 1. Trayectorias de aviones que vuelan entre distintas ciudades del planeta.

En ocasiones oía algún pasajero haciendo un comentario, mitad en broma y mitad en serio sobre como “el piloto debe ser nuevo, porque no va en línea recta,” o, “¿sabrá este piloto a dónde vamos?” Inicialmente pensé que tan solo se trataba de bromas, pero más adelante, charlando con pasajeros vecinos, me percaté de que a veces, ese no era el caso, ya que más de una vez aclaré el malentendido a personas educadas, vecinos de asiento, lo que me llevó a caer en cuenta de que sencillamente estas personas nunca habían sido expuestas a ideas básicas de geometría esférica, excepto tal vez por las nociones de longitud y latitud que a menudo se estudia en Geografía (Figura 2). Quizás por esto, cuando se habla de geometría, normalmente se piensa en la euclídea que tradicionalmente se estudia en escuela intermedia. En geometría euclídea, hay dos principios fundamentales que todo estudiante aprende:

i. para hallar la menor distancia entre dos puntos se traza la línea recta que pasa por ellos y se mide el segmento que determinan, y


ii. por un punto exterior a una recta solo pasa una paralela a la misma.

El problema reside en que ambas de esas expresiones, conocidas como axiomas o verdades sin demostración que se aceptan en la geometría euclídea, no son ciertas en geometría esférica. En la geometría de la esfera para medir la distancia entre dos puntos de la superficie, en lugar de rectas se usa el arco de círculo máximo que pasa por ellos. Un círculo máximo es un círculo de la superficie de una esfera cuyo plano pasa a través del centro de esta y la divide en dos partes iguales. Si el círculo máximo, pasa además por los polos, se llama meridiano y si es perpendicular a los meridianos se trata del ecuador (Fig. 3). Notemos que dado un punto A de una esfera y un círculo máximo C que no lo contenga, no es posible trazar otro círculo máximo que pase por A y que no intercepte al círculo máximo C.

Fig 2. Longitud y latitud de un punto
Fig 3. Círculos máximos y meridianos

La forma más fácil que he encontrado de explicar estas ideas, sobre todo a un niño, es usando una naranja. Primero deben entender que cualquier arco o curva de la esfera (naranja) no es un círculo máximo a menos que al cortar por él, la esfera (naranja) se divida en dos partes iguales o dos mitades. A veces hay que cortar varias naranjas, pero rápidamente todos captan el concepto. Seguidamente, marcamos dos puntos sobre la naranja y, agrupándolos en grupitos, les pedimos que dibujen el arco que produce la distancia mínima entre los mismos. Aunque inicialmente algunos dibujan arcos que no son máximos, preguntándoles si están seguros de que cortando por los mismos se obtendrían dos mitades, tienden a captar la idea y cambiar el arco por uno máximo.

Es conveniente entonces presentarles una figura como la 1, y preguntarles algo así como ¿los pilotos están confusos, o están siguiendo las trayectorias apropiadas para volar entre dos ciudades?

Por último, no está de más recordarles a los niños el papel del meridiano de Greenwich o meridiano 0⁰, a partir del cual se miden las longitudes, así como el antimeridiano o meridiano opuesto 180⁰ al de Greenwich a partir del cual se cuentan las horas (hacia el este la hora aumenta y hacia el oeste la hora disminuye). Es desafortunado el que a menudo se hable del meridiano cero refiriéndose a cualquiera de los dos, sin especificar que se está midiendo.

Principales Paralelos

Por Antonio R Quesada

A esta altura de mi vida reconozco que lo que creo saber es ínfimo comparado con lo que desconozco. Usando mis experiencias, trato de profundizar en algunas ideas espirituales básicas que comparto con toda humildad a fin de animar a otros a que hagan lo mismo. Agradezco de antemano cualquier sugerencia o corrección que reciba. ________________________________________________________________________________ At this time of my life, I acknowledge that what I think I know, is minimal compared to what I don’t know. Using my experiences, I try to deepen on some basic spiritual ideas that I share with all humility, with the purpose of encouraging others to do the same. I thank you in advance for any suggestions or corrections that I receive. ________________________________________________________________________________ Dr. Antonio R. Quesada, Professor Emeritus of Mathematics at The University of Akron. Ohio Teaching Fellow. Director of Project AMP. T^3 International Emeritus Professor.

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